in Concept

3 Macam Distribusi Peluang Diskrit

Reading Time: 4 minutes

Distribusi peluang diskrit merupakan distribusi peluang dari variabel random diskrit. Terdapat beberapa variabel diskrit dan berikut ini akan dibahas jenis-jenis variabel diskrit.

Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi peluang diskrit dimana tiap-tiap percobaan memiliki dua kemungkinan, yakni sukses satu gagal. Adapun penggunaan distribusi ini dapat adalah pada permasalahan yang mana memiliki karaktersitik sebagaimana berikut:

  1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
  2. Setiap usaha memiliki hasil yang dapat ditentukan sebagai sukses atau gagal
  3. Peluang sukses dapat dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha yang berikutnya
  4. Setiap usaha saling asing atau independen dengan usaha lainnya

Dalam kasus ini digunakan variabel random binomial, yang mana dapat didefinisikan banyaknya sukses dalam n usaha binomial. Apabila suatu usaha binomial menghasilkan sukses dengan peluang p yang berarti dapat dihasilkan peluang gagal g = 1-p, maka distribusi peluang variabel binomial X dapat diformulasikan sebagaimana berikut:

\(f(x, n, p) =_n C_x P^x q^{n-x}\), x = 0,1,2,…., n

Selanjutnya pada distribusi peluang binomial ini, mean dan variansi dapat dirumuskan sebagaimna di bawah ini

E(X) = np; Var(X) = npq

Dapat diperhatikan bahwasanya nilai harapan dari permasalah distribusi binomial merupakan perkalian antara banyaknya usaha n dalam percobaan dikalikan dengan peluang sukses p. Sementara variansinya merupakan perkalian banyak usaha n dalam percobaan dikalikan dengan peluang sukses p dikalikan dengan peluang gagal q.

Selanjutnya akan diberikan contoh yang mana merepresentasikan permasalahan binomial dan akan diselesaikan dengan formulasi di atas.

Contoh Kasus Distribusi Binomial

Diandaikan terdapat sebuah permainan pada lomba agustusan berupa menaiki sepeda di jalan lurus dengan lebar 20 cm dan panjang jalan 10 m. Peluang seseorang berhasil dalam permainan ini adalah 0.5. Ditanyakan bahwa berapakah peluang tepat 5 dari 10 orang yang mengikuti permainan ini akan berhasil.

Di ambil dari Solopos.com

Jawab

Dalam hal ini dapat dimisalkan variabel random X sebagai banyaknya peserta lomba yang berhasil. Nampak bahwa permasalahan ini merupakan permasalahan binomial dengan peluang berhasil p = 0.5. Karena n=10, maka dapat diperoleh

\(P(X=5) =_{10} C_5 0.5^5 (1-0.5)^{10-5} = \frac{10!}{5!5!} 0.5^10 = 0.246\)

Dengan demikian peluang tepat 5 dari 10 orang peserta pada permainan ini untuk berhasil adalah sebesar 0.245.

Distribusi Hipergeometrik

Selintas permasalahan distribusi peluang ini akan mirip dengan karakteristik distribusi binomial. Namun demikian apabila dicermati distribusi ini sedikit berbeda dengan distribusi binomial. Pada distribusi hipergeomti ini setiap pengambilan akan dikembalikan kembali dan terdapat sub sampel dari seluruh sampel yang hendak diuji.

Adapun karakteristik dari permasalahan distribusi hipergeomtrik adalah sebagai berikut

  1. Terdapat sampel berukuran n yang mana diambil dari total sampel N
  2. Setiap usaha percobaan akan memiliki hasil yang dapat ditentukan apakah akan sukses atau gagal. Dalam populasi N sebanyak k diambil sebagai kejadian sukses sedangkan sisanya N-k kejadian gagal
  3. Cara pengambilan tanpa pengembalian

Dalam hal ini variabel random hipergeometrik X adalah banyaknya sukses dalam percobaan hipergeometrik. Selanjutnya distribusi peluang variabel random hipergeometrik dapat diformulasikan sebagai berikut

\(f(x, n, N, k) = \frac{\begin{pmatrix} k \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix}N-k \\ n-x \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}\), x= 0,1,2, …., min(n,k)

Pada distribusi peluang hipergeometri mean dan variansi distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut

\(E(X) = n \frac{k}{N}\) \(Var(X) = n \frac{k}{n} \frac{N-k}{N} \frac{N-n}{N-1}\)
Contoh Kasus Permasalahan Distribusi Hipergeometri

Diandaikan bahwa dari 100 orang peserta pesta diketahui 10 di antaranya suka memakai baju hitam dan sisanya tidak. Ditanyakan bahwa berapakah peluang dari 5 orang yang dijadikan sampel terdapat 3 orang yang memakai baju hitam.

Jawab

Dalam hal ini didefiniskan X sebagai banyaknya peserta pesta yang menganakn baju hitam. Jelas bahwa permasalahan ini merupakan permasalahan hipergeometri, mengingat akan dicari pemakai baju hitam dan tidak, kemudian juga tedapat sub sampel 10 orang yang suka mengenakan baju hitam.

Dapat diperhatikan bahwa n=5, N=100, dan k=10. Selanjutnya peluang 3 orang berbaju hitam dari 5 sampel terambil adalah

\( P(X=3) = \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 90 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 5 \end{pmatrix}} = 0.00638\)

Diperoleh bahwa peluang 3 orang berbaju hitam dari 5 sampel terambil adalah sebesar 0.00638.

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson merupakan salah satu distribusi peluang diskret yang mempunyai penerapan yang luas dalam pemodelan menggunakan teori peluang. Adapun distribusi ini memiliki karakteristik sebagaimana berikut:

  1. Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu independen dengan kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain
  2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjangnya selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyakanya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut
  3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan

Dalam hal ini variabel random Poisson X adalah banyaknya sukses dalam susatu percobaan Poisson. Selanjutnya distribsi peluang variabel random Poisson dapat diformulasikan sebagaimana berikut

\(f(x, \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}\), dengan x = 1,2, …,

Distribusi Poisson pada variabel random poisson X memiliki formulasi mean dan variansi sebagaimana berikut

\(E(X) =\lambda\) \(Var(X) = \lambda\)
Contoh Kasus Distribusi Poisson

Misalkan dalam suatu buku terdapat kesalahan penulisan yang acak pada tiap halaman, dengan rata-rata 2 kesalahan per halaman. Ditanyakan bahwa berapa peluang dalam satu halaman terdapat satu kesalahan penulisan.

Jawab

Dalam kasus ini variabel random X adalah banyaknya kesalahan penulisan pada suatu halaman. Selanjutnya didapati bahwa X berdistribusi Poisson dengan \(\lambda = 2 \). Oleh karenanya

\(P(X=1) = \frac{e^{-2}2^1}{1!} = 2 e^{-2} = 0.2707\)

Diperoleh bahwa peluang dalam satu halaman terdapat satu kesalahan penulisan adalah sebesar 0.2707.

Referensi

Pangesti, Sri. dkk. 2004. Modul: Metode Statistika. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •